Bonjour et bienvenue dans les podcasts de révision de Sport et Pédagogie. Aujourd'hui, en mathématiques de seconde, on révise les nombres, les calculs et les puissances. Installez-vous, et si vous le pouvez, gardez une feuille et un crayon à côté de vous.

Commençons par les ensembles de nombres. Les entiers naturels, notés N, ce sont zéro, un, deux, trois, et ainsi de suite. Les entiers relatifs, notés Z, ajoutent les entiers négatifs, comme moins cinq. Les nombres décimaux, notés D, sont ceux qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme zéro virgule vingt-cinq. Les rationnels, notés Q, sont tous les quotients de deux entiers, comme un tiers. Enfin, les réels, notés R, regroupent tous les nombres de la droite graduée. Chaque ensemble est inclus dans le suivant.

Un piège classique : un tiers est-il un nombre décimal ? Non. Un tiers, c'est zéro virgule trois trois trois, avec une infinité de trois. C'est donc un rationnel, mais pas un décimal. Et racine de deux ? Elle ne peut pas s'écrire comme un quotient de deux entiers : c'est un nombre irrationnel, tout comme pi.

Passons aux puissances. Trois règles suffisent. Première règle : quand on multiplie deux puissances du même nombre, on ajoute les exposants. Deux puissance trois fois deux puissance quatre, cela fait deux puissance sept. Deuxième règle : quand on divise, on soustrait les exposants. Dix puissance cinq divisé par dix puissance deux, cela donne dix puissance trois. Troisième règle : une puissance de puissance, on multiplie les exposants. Dix puissance trois, le tout au carré, donne dix puissance six. Retenez aussi qu'un exposant négatif signifie un inverse : dix puissance moins trois, c'est un millième, soit zéro virgule zéro zéro un.

L'écriture scientifique sert à écrire très grand ou très petit. On écrit un nombre compris entre un et dix, multiplié par une puissance de dix. Quarante-cinq mille s'écrit quatre virgule cinq fois dix puissance quatre. Attention : quarante-cinq fois dix puissance trois est juste, mais ce n'est pas une écriture scientifique, car quarante-cinq est plus grand que dix.

Les racines carrées, maintenant. La racine carrée d'un nombre positif a, c'est le nombre positif dont le carré vaut a. On peut couper une racine sur un produit : racine de cinquante, c'est racine de vingt-cinq fois racine de deux, donc cinq racine de deux. Mais on ne coupe jamais une racine sur une somme. Racine de neuf plus seize, c'est racine de vingt-cinq, donc cinq. Ce n'est surtout pas trois plus quatre, qui ferait sept.

Un mot sur l'arithmétique. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : un et lui-même. Deux, trois, cinq, sept, onze, treize sont premiers. Vingt et un ne l'est pas, car c'est trois fois sept. Tout entier se décompose en produit de nombres premiers : quatre-vingt-quatre, c'est deux au carré, fois trois, fois sept. Et un nombre pair s'écrit deux k, un nombre impair deux k plus un. C'est ce qui permet de démontrer que la somme de deux impairs est toujours paire.

Pour les fractions, une seule règle : on additionne au même dénominateur. Deux tiers plus un quart, c'est huit douzièmes plus trois douzièmes, donc onze douzièmes. On n'additionne jamais les dénominateurs.

Enfin, les intervalles et la valeur absolue. L'intervalle crochet moins deux, trois, crochet ouvert, contient les nombres compris entre moins deux inclus et trois exclu. Et la valeur absolue de a moins b, c'est la distance entre a et b. La distance entre deux et moins trois vaut cinq.

Pour résumer : on ajoute les exposants quand on multiplie, on ne coupe jamais une racine sur une somme, et on met au même dénominateur avant d'additionner. Maintenant, testez-vous avec le QCM gratuit de ce chapitre sur le site Sport et Pédagogie. Bonnes révisions !